ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 2y + z = 2$,$\alpha x + 3y - z = \alpha$,અને $-\alpha x + y + 2z = -\alpha$ સુસંગત નથી. તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ સંહતિ $x+2y-3z=2$,$2x+\lambda y+5z=5$,$14x+3y+\mu z=33$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\lambda+\mu$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+\alpha z=2$,$3x+y+z=4$,અને $x+2z=1$ નો અનન્ય ઉકેલ $(x^{*}, y^{*}, z^{*})$ છે. જો $(\alpha, x^{*}), (y^{*}, \alpha)$ અને $(x^{*}, -y^{*})$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો $\alpha$ ની તમામ શક્ય કિંમતોના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો.

ધારો કે $a, b, c \notin \{0, 1\}$. જો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1 \equiv x+ay+az=0, \Pi_2 \equiv bx+y+bz=0, \Pi_3 \equiv cx+cy+z=0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય, તો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ પાસે

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $2x - y = -2$ અને $3x + 4y = 3$.

સમીકરણ સંહતિ $x-y+z=0, x+2y-z=0, 2x+y+3z=0$ ના અ-તુચ્છ (non-trivial) ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?