पूर्णांकों के समुच्चय Z पर,f: Z rightarrow Z | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f: Z ightarrow Z$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n 	ext{ सम है} \ 0, & n 	ext{ विषम है} \end{cases}$ है।$1$. एकैकी (

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आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f: Z ightarrow Z$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n 	ext{ सम है} \ 0, & n 	ext{ विषम है} \end{cases}$ है।$1$. एकैकी (Injective) की जाँच: यदि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ हो तो फलन एकैकी होता है। विषम पूर्णांक $n_1 = 1$ और $n_2 = 3$ लें। तो $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 
eq 3$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।$2$. आच्छादक (Surjective) की जाँच: यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $n \in Z$ मौजूद हो कि $f(n) = y$ हो,तो फलन आच्छादक होता है। किसी भी पूर्णांक $y$ के लिए,यदि हम $n = 2y$ लें (जो हमेशा सम संख्या है),तो $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ प्राप्त होता है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर,$f: Z \rightarrow Z$ को $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ सम है} \\ 0, & n \text{ विषम है} \end{cases}$ के रूप में परिभाषित करें। तो $f$ है:

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यदि फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x|x|$ द्वारा परिभाषित है,तो:

यदि $2 < x < 3$ के लिए $f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ है,तो $f$ है

ऐसे $f: Z \rightarrow Z$ द्विआधारी (bijective) फलनों की संख्या क्या है जिनके लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए सत्य है?

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