$P$ એ ઉપવલય $9x^2 + 36y^2 = 324$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $S$ અને $S'$ છે. તો $SP + S'P$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $\frac{x^2}{2-r}+\frac{y^2}{r-5}+1=0$ એ ઉપવલય દર્શાવે છે જો

જો રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ એ ઉપવલય $x = 3 \cos \theta, y = 5 \sin \theta$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે અને $(\alpha, \beta)$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $3\beta - 2\alpha =$

ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત એક ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે, જેથી $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ એ $y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય છે. તો $a$ ની કિંમત કયા અંતરાલ(ઓ) માં હોઈ શકે?

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $B$ એ તેના ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે. જો $\triangle SBS^{\prime}$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.