સાબિત કરો કે વક્રો $xy=4$ અને $x^{2}+y^{2}=8$ એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $xy=4 \dots (i)$ અને $x^{2}+y^{2}=8 \dots (ii)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. ધારો કે આ ઢાળ $m_{1} = -\frac{y}{x}$ છે.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. ધારો કે આ ઢાળ $m_{2} = -\frac{x}{y}$ છે.
વક્રો એકબીજાને સ્પર્શે તે માટે,તેઓ છેદવા જોઈએ અને છેદબિંદુ પર તેમનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ. $m_{1} = m_{2}$ લેતા,$-\frac{y}{x} = -\frac{x}{y} \Rightarrow y^{2} = x^{2}$ મળે છે.
$x^{2} = y^{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $y^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
જો $y = 2$,તો $x = \frac{4}{2} = 2$. જો $y = -2$,તો $x = \frac{4}{-2} = -2$. છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ પર: $m_{1} = -\frac{2}{2} = -1$ અને $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$. $m_{1} = m_{2}$ હોવાથી,વક્રો $(2, 2)$ પર સ્પર્શે છે.
બિંદુ $(-2, -2)$ પર: $m_{1} = -\frac{-2}{-2} = -1$ અને $m_{2} = -\frac{-2}{-2} = -1$. $m_{1} = m_{2}$ હોવાથી,વક્રો $(-2, -2)$ પર સ્પર્શે છે.
આમ,વક્રો એકબીજાને સ્પર્શે છે.