सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं $(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ और $(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1$ पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $b^{2}$ है।

दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,$bx \cos \theta+ay \sin \theta-ab=0$ प्राप्त होता है.....$(1)$
माना बिंदु $(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $(1)$ पर लंब की लंबाई $p_{1}$ है:
$p_{1}=\frac{|b \cos \theta(\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(2)$
माना बिंदु $(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $(1)$ पर लंब की लंबाई $p_{2}$ है:
$p_{2}=\frac{|b \cos \theta(-\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(3)$
$p_{1}$ और $p_{2}$ का गुणनफल करने पर:
$p_{1} p_{2}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab| \cdot |b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}-(ab)^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{|b^{2} \cos ^{2} \theta(a^{2}-b^{2})-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|a^{2}b^{2} \cos ^{2} \theta-b^{4} \cos ^{2} \theta-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{b^{2}|a^{2} \cos ^{2} \theta-b^{2} \cos ^{2} \theta-a^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$a^{2} = a^{2}(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta)$ का उपयोग करने पर,अंश $b^{2}|-(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)|$ हो जाता है।
अतः,$p_{1} p_{2} = \frac{b^{2}(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)}{b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta} = b^{2}$.