સાબિત કરો કે $h$ ઊંચાઈ અને $\alpha$ અર્ધ-શીર્ષકોણ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળવાળા નળાકારની ઊંચાઈ શંકુની ઊંચાઈ કરતાં ત્રીજા ભાગની હોય છે અને નળાકારનું મહત્તમ ઘનફળ $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ છે.

(N/A) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે અને અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha$ છે. શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r = h \tan \alpha$ છે.
ધારો કે અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ અનુક્રમે $R$ અને $H$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{H}{r-R} = \frac{h}{r}$ મળે.
$r = h \tan \alpha$ મૂકતા,$\frac{H}{h \tan \alpha - R} = \frac{h}{h \tan \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}$ મળે.
આમ,$H = \frac{h \tan \alpha - R}{\tan \alpha} = h - \frac{R}{\tan \alpha}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi R^{2} H = \pi R^{2} (h - \frac{R}{\tan \alpha}) = \pi h R^{2} - \frac{\pi R^{3}}{\tan \alpha}$ છે.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dV}{dR} = 2 \pi h R - \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ મેળવીએ.
$\frac{dV}{dR} = 0$ લેતા,$2 \pi h R = \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ મળે,જે $R = \frac{2}{3} h \tan \alpha$ આપે છે.
તેથી $H = h - \frac{\frac{2}{3} h \tan \alpha}{\tan \alpha} = h - \frac{2}{3} h = \frac{1}{3} h$.
કારણ કે $\frac{d^{2}V}{dR^{2}} = 2 \pi h - \frac{6 \pi R}{\tan \alpha} = 2 \pi h - 4 \pi h = -2 \pi h < 0$,તેથી $H = \frac{1}{3} h$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi (\frac{2}{3} h \tan \alpha)^{2} (\frac{1}{3} h) = \pi (\frac{4}{9} h^{2} \tan^{2} \alpha) (\frac{1}{3} h) = \frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ છે.