सिद्ध कीजिए कि $h$ ऊँचाई और $\alpha$ अर्ध-शीर्ष कोण वाले एक लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई शंकु की ऊँचाई की एक-तिहाई होती है और बेलन का अधिकतम आयतन $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ है।

(N/A) माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha$ है। शंकु के आधार की त्रिज्या $r = h \tan \alpha$ है।
माना अंतर्गत बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमशः $R$ और $H$ हैं।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{H}{r-R} = \frac{h}{r}$ प्राप्त होता है।
$r = h \tan \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{H}{h \tan \alpha - R} = \frac{h}{h \tan \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,$H = \frac{h \tan \alpha - R}{\tan \alpha} = h - \frac{R}{\tan \alpha}$।
बेलन का आयतन $V = \pi R^{2} H = \pi R^{2} (h - \frac{R}{\tan \alpha}) = \pi h R^{2} - \frac{\pi R^{3}}{\tan \alpha}$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dR} = 2 \pi h R - \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,$2 \pi h R = \frac{3 \pi R^{2}}{\tan \alpha}$ प्राप्त होता है,जिससे $R = \frac{2}{3} h \tan \alpha$ मिलता है।
तब $H = h - \frac{\frac{2}{3} h \tan \alpha}{\tan \alpha} = h - \frac{2}{3} h = \frac{1}{3} h$।
चूँकि $\frac{d^{2}V}{dR^{2}} = 2 \pi h - \frac{6 \pi R}{\tan \alpha} = 2 \pi h - 4 \pi h = -2 \pi h < 0$,अतः $H = \frac{1}{3} h$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (\frac{2}{3} h \tan \alpha)^{2} (\frac{1}{3} h) = \pi (\frac{4}{9} h^{2} \tan^{2} \alpha) (\frac{1}{3} h) = \frac{4}{27} \pi h^{3} \tan^{2} \alpha$ है।