સાબિત કરો કે વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માં હંમેશા વધતું વિધેય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ અને $2\sin x \cos x = \sin 2x$,તેથી:
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (1 + \sin 2x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$
અંતરાલ $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માટે,$\cos x > \sin x$ હોવાથી $\cos x - \sin x > 0$ થાય.
વળી,દરેક $x$ માટે $2 + \sin 2x > 0$ છે.
અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માં અંશ અને છેદ બંને ધન હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.