સાબિત કરો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય $x = e$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લઈએ:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
હવે,$x = e$ આગળ $f''(x)$ ની કિંમત તપાસીએ:
$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = \frac{-1}{e^3}$.
અહીં $f''(e) = \frac{-1}{e^3} < 0$ હોવાથી,દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,વિધેય $f(x)$ એ $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.