સાબિત કરો કે વક્ર $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta, y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$ પરના કોઈપણ બિંદુ $\theta$ આગળનો અભિલંબ ઉગમબિંદુથી અચળ અંતરે છે.

(A) આપેલ વક્રના સમીકરણો: $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta$ અને $y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta + a \sin \theta + a \theta \cos \theta = a \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta - a \cos \theta + a \theta \sin \theta = a \theta \sin \theta$
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય.
બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(Y - y) = -\cot \theta (X - x)$ છે:
$Y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (X - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta))$
$Y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -X \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$
$X \cos \theta + Y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$
$X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|0 \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta - a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1}} = |a|$.
અહીં $|a|$ અચળ હોવાથી,અભિલંબનું ઉગમબિંદુથી અંતર અચળ છે.