ધારો કે $\det \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^n k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 \\ \sum_{k=0}^n {^nC_k} k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k \end{bmatrix} = 0$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સાચું છે. તો $\sum_{k=0}^n \frac{{^nC_k}}{k+1}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $B=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$ અને $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે જેથી $AB^{-1}=A^{-1}$ થાય. જો $BCB^{-1}=A$ અને $C^4+\alpha C^2+\beta I=O$ હોય,તો $2\beta-\alpha$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $M$ એ $3 \times 3$ ક્રમના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ છે અને $S=\{-3,-2,-1,1,2\}$ છે. ધારો કે $S_1=\{A=[a_{ij}] \in M: A=A^{T} \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,$S_2=\{A=[a_{ij}] \in M: A=-A^{T} \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,અને $S_3=\{A=[a_{ij}] \in M: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ અને } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$. જો $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3)=125 \alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $M$ અને $N$ એ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર સ્કીવ-સિમેટ્રિક શ્રેણિકો છે,જેથી $MN = NM$. જો $P^T$ એ $P$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવતું હોય,તો $M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ ની કિંમત શું થાય?

જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકો હોય અને $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$ હોય, તો:

ધારો કે $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$. જો કોઈ $x, y, z \in R$ માટે $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ હોય અને $xyz \neq 0$ હોય,તો $6\alpha + 4\beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો.