मान लीजिए कि $\det \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^n k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 \\ \sum_{k=0}^n {^nC_k} k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k \end{bmatrix} = 0$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है। तो $\sum_{k=0}^n \frac{{^nC_k}}{k+1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ और $I$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि $Q=[q_{ij}]$ एक ऐसा आव्यूह है कि $P^{50}-Q=I$,तो $\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5\alpha & 0 \\ 0 & 4\alpha & -2\alpha \end{bmatrix} + \text{adj}(A)$ है। यदि $\det(B) = 66$ है, तो $\det(\text{adj}(A))$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$ और $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ है,तो $f(x)$ किस घात का बहुपद है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A^{2}-B^{2})$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। यदि $A^{5}=B^{5}$ और $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ है,तो आव्यूह $A^{3}+B^{3}$ के सारणिक का मान किसके बराबर है?

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।