श्रेणी $1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + \ldots$ का $n$-वाँ पद क्या है?

मान लीजिए $S$ एक अनंत योग है जो $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $(a_n)_{n \geq 0}$ एक अनुक्रम है जिसे $a_0 = 1, a_1 = 1$ और $j \geq 2$ के लिए $a_j = 20a_{j-1} - 108a_{j-2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $S$ को $\frac{a}{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $a$ का मान क्या है:

श्रेणी $5+11+19+29+41+\ldots$ के प्रथम $20$ पदों का योग $..........$ है।

श्रेणी $9+99+999+\ldots$ के प्रथम $10$ पदों का योग क्या है?

$2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \dots$

निम्नलिखित श्रेणी का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए:
$5+55+555+\ldots$