क्षेत्र A = {(x, y) / frac{y^2}{2} leq x leq | vedclass

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Question

(D) दिया गया क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{y^2}{2}$ और $x = y+4$ को बर

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(D) दिया गया क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{y^2}{2}$ और $x = y+4$ को बराबर रखते हैं।$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:$\frac{y^2}{2} = y+4$$y^2 = 2y + 8$$y^2 - 2y - 8 = 0$$(y - 4)(y + 2) = 0$अतः,$y = 4$ या $y = -2$ है।जब $y = 4$,तब $x = 4+4 = 8$। जब $y = -2$,तब $x = -2+4 = 2$।प्रतिच्छेदन बिंदु $(8, 4)$ और $(2, -2)$ हैं।क्षेत्रफल $A$ को $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$$A = (\frac{16}{2} + 4(4) - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} + 4(-2) - \frac{-8}{6})$$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3}$$A = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3})$$A = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाई।

क्षेत्र $A = \{(x, y) / \frac{y^2}{2} \leq x \leq y+4\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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