y^2 = 4x और x^2 = 4y वक्रों द्वारा परिबद्ध क् | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:$(\frac{x^2}

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$\frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$

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(B) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.अतः, $x = 0$ या $x = 4$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4, 4)$ हैं।वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$, $x = 0$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$$A = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$$A = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^4$$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$$A = (\frac{4}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{12}) - (0 - 0)$$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

$y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

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प्रथम चतुर्थांश में वक्रों $y=x^{3}$, $y=\frac{1}{x}$ और रेखा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

परवलयों $y=4x^{2}$, $y=\frac{x^{2}}{9}$ और रेखा $y=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ के अंदर और वक्रों $y=|x|-1$ तथा $y=1-|x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

परवलय $y^2 = x$ और सरल रेखा $2y = x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

यदि क्षेत्र $\{(x, y): |4-x^2| \leq y \leq x^2, y \leq 4, x \geq 0\}$ का क्षेत्रफल $\left(\frac{80 \sqrt{2}}{\alpha}-\beta\right)$ है,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,तो $\alpha+\beta$ का मान . . . . . . है।

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