एक परवलय का अक्ष रेखा y=x के अनुदिश है। इसके | vedclass

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Question

(A) परवलय का अक्ष $y=x$ है। शीर्ष $A$ और नाभि $S$ प्रथम चतुर्थांश में इस रेखा पर स्थित हैं। चूंकि $A$ की $(0,0)$ से दूरी $\sqrt{2}$ है,$A$ के निर्देशा

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$x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$

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(A) परवलय का अक्ष $y=x$ है। शीर्ष $A$ और नाभि $S$ प्रथम चतुर्थांश में इस रेखा पर स्थित हैं। चूंकि $A$ की $(0,0)$ से दूरी $\sqrt{2}$ है,$A$ के निर्देशांक $(1,1)$ हैं। चूंकि $S$ की $(0,0)$ से दूरी $2\sqrt{2}$ है,$S$ के निर्देशांक $(2,2)$ हैं। दूरी $AS = a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है। नियता रेखा $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $A$,$SZ$ का मध्यबिंदु है। $S=(2,2)$ और $A=(1,1)$ होने के कारण,$Z=(0,0)$ है। नियता का समीकरण $x+y=0$ है। परवलय की परिभाषा के अनुसार,किसी भी बिंदु $(x,y)$ की नाभि $(2,2)$ से दूरी,नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x+y)^2}{2}$. $2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + y^2 + 2xy$. $x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y + 16 = 0$,जो $(x-y)^2 = 8(x+y-2)$ है। $x=(t+1)^2$ और $y=(t-1)^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $((t+1)^2 - (t-1)^2)^2 = (4t)^2 = 16t^2$. $8((t+1)^2 + (t-1)^2 - 2) = 8(t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 - 2) = 8(2t^2) = 16t^2$. दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए प्राचलिक रूप $x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$ है।

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