(1, 2, 3) से गुजरने वाली और समतलों x - y + 2z | vedclass

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Question

(B) माना रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर है,इसलिए इसका दिक सदिश दोनों समतलों के

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$\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$

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(B) माना रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर है,इसलिए इसका दिक सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत होगा। अभिलंब $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ हैं। दिक सदिश $\vec{v}$ का मान $\vec{n_1} 	imes \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & 2 \ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-3)) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$. अतः,दिक अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं। रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए कार्तीय समीकरण $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{4}$ है।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के समानांतर रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

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बिंदु $(-1, -5, -10)$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ समतलीय हैं,तो इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण क्या है?

रेखा $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{2}$ और समतल $2x - 3y + z + 4 = 0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

रेखा $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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