$r \cdot (i + 2j + 2k) = 15$ અને $|r - (j + 2k)| = 4$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$, $\lambda \in R$ અને $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$, $\mu \in R$, બિંદુ $R$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પર આવેલા બિંદુઓ છે, જેથી $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ અને $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ થાય. જો બિંદુ $P$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં હોય, તો $27(QR)^2$ ની કિંમત શોધો.

સમતલો $ax + by + cz + d = 0$ અને $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને રેખા $y = 0, z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શું છે?

ધન દિક્કોસાઇન (direction cosines) ધરાવતી એક રેખા બિંદુ $P(2,-1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. આ રેખા સમતલ $2x+y+z=9$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. તો રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?

સમતલ $x+2y+3z=4$ અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સદિશ $(2\hat{i}-3\hat{j}) \times (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{2}$ અને સમતલ $x + y + z = 17$ ના છેદબિંદુનું બિંદુ $(3, 4, 5)$ થી અંતર કેટલું થાય?