वक्र y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5,x-अक्ष क | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$। चूंकि वक्र $(-2, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$ है,जो $-8a + 4b - 2

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$\frac{27}{4}$

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(A) दिया गया है $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$। चूंकि वक्र $(-2, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $y(-2) = a(-8) + b(4) - 2c + 5 = 0$ है,जो $-8a + 4b - 2c = -5$ या $8a - 4b + 2c = 5$ (समीकरण $1$) में सरल होता है। चूंकि वक्र $x$-अक्ष को $(-2, 0)$ पर स्पर्श करता है,ढाल $y'(-2) = 0$ है। $y'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$। $y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$ (समीकरण $2$)। दिया गया है $y'(0) = 3$,इसलिए $c = 3$ (समीकरण $3$)। $c=3$ को समीकरण $1$ और $2$ में रखने पर: $8a - 4b + 6 = 5 \implies 8a - 4b = -1$। $12a - 4b + 3 = 0 \implies 12a - 4b = -3$। दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $(12a - 4b) - (8a - 4b) = -3 - (-1) \implies 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2}$। $a = -\frac{1}{2}$ को $12a - 4b = -3$ में रखने पर: $12(-\frac{1}{2}) - 4b = -3 \implies -6 - 4b = -3 \implies -4b = 3 \implies b = -\frac{3}{4}$। अतः,$y(x) = -\frac{1}{2}x^{3} - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 5$। $y'(x) = -\frac{3}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + 3$। $y'(x) = 0$ रखने पर: $-\frac{3}{2}(x^{2} + x - 2) = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$। क्रांतिक बिंदु $x = -2$ और $x = 1$ हैं। $y''(x) = -3x - \frac{3}{2}$। $x = 1$ पर,$y''(1) = -3 - 1.5 = -4.5 $y(1) = -\frac{1}{2}(1)^{3} - \frac{3}{4}(1)^{2} + 3(1) + 5 = -0.5 - 0.75 + 3 + 5 = 6.75 = \frac{27}{4}$।

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