એક પૂર્ણાંક અને તેના ઘન વચ્ચેનો તફાવત કોના વડે વિભાજ્ય છે?

વિધાન $-1$: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(n + 1)^7 - n^7 - 1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
વિધાન $-2$: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધારો કે $N_1 = 2^{55} + 1$ અને $N_2 = 165$ છે. તો:

પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$, જ્યાં $n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ), તે કોના વડે વિભાજ્ય છે?

બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે,જો $3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ એ $k$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $k$ થી નાની અથવા તેના જેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $n$ કોઈ પણ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $a^n + b^n$ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?