$(-4,0)$ અને $(4,0)$ પર નાભિ ધરાવતા અને $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$a$ અને $b$ એ ઉપવલયના અર્ધ-મુખ્ય અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષો છે જેના અક્ષો યામ અક્ષો પર છે. જો તેના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4$ એકમ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો $a^2+b^2=$

ધારો કે $C$ એ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે. ધારો કે $PQR$ એક ચલ ત્રિકોણ છે,જેનો શિરોબિંદુ $P$ વર્તુળ $C$ પર છે અને $2$ લંબાઈની બાજુ $QR$ એ $E$ ની મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે અને તે $E$ ના ઋણ $y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ને મુખ્ય અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવતી સ્પર્શકોના સમીકરણો કયા છે?

ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શક પર નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

જો $P$ એ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ પરનું એક બિંદુ હોય અને તેના નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ હોય,તો $\triangle S P S^{\prime}$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?