समतलों 2x - 5y + z = 3 और x + y + 4z = 5 के प | vedclass

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Question

(C) समतलों $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ और $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा

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$7$

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(C) समतलों $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ और $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(2 + \lambda)x + (-5 + \lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (3 + 5\lambda) = 0 \dots (1)$चूंकि यह समतल $x + 3y + 6z - 1 = 0$ के समानांतर है,इसलिए इनके अभिलंब सदिश समानुपाती होने चाहिए:$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{-5 + \lambda}{3} = \frac{1 + 4\lambda}{6}$पहले दो भागों को लेने पर:$3(2 + \lambda) = -5 + \lambda$$6 + 3\lambda = -5 + \lambda$$2\lambda = -11 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{2}$समीकरण $(1)$ में $\lambda = -\frac{11}{2}$ रखने पर:$(2 - \frac{11}{2})x + (-5 - \frac{11}{2})y + (1 - 22)z - (3 - \frac{55}{2}) = 0$$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$$-2$ से गुणा करने पर:$7x + 21y + 42z - 49 = 0$$7(x + 3y + 6z) = 49$$x + 3y + 6z = 7$इसकी तुलना $x + 3y + 6z = k$ से करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।

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यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{1}$ और $\frac{x-a}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो बिंदु $P$ की समतल $z = a$ से दूरी क्या है?

मूल बिंदु से गुजरने वाली और समतल $2x + 4y - 5z = 10$ पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें रेखाएँ $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ और $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ स्थित हैं।

समतल $x - y + 2z - 2 = 0$ में बिंदु $P(2, 4, -1)$ का प्रतिबिंब $Q(a, b, c)$ है,तो $a + b + c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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