રેખાઓ $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ અને $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z}{5}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ અને સમતલ $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

બિંદુ $P(3, 8, 2)$ નું રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3}$ થી સમતલ $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ ને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું છે ($\text{ એકમ}$ માં)?

જો સમતલો $2x + 3y + z = 1$ અને $x + 3y + 2z = 2$ ની છેદરેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી હોય,તો $\cos \alpha = $

ધારો કે $P$ એ $(1,0,1), (1,-2,1)$ અને $(0,1,-2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું સમતલ છે. ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ એવું છે કે જેથી $\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર છે,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ ને લંબ છે અને $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ છે,તો $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ ની કિંમત શોધો.

સમતલો $x + y + z = 5$ અને $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x + y + z = 5$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.