फलन f(x) = x^{1/x} है | vedclass

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Question

(C) माना $y = x^{1/x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\fra

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$(1, e)$ में वर्धमान,$(e, \infty)$ में ह्रासमान

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(C) माना $y = x^{1/x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$।अतः,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$।चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^{1/x} > 0$ और $x^2 > 0$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न $(1 - \ln x)$ पर निर्भर करता है।$x \in (1, e)$ के लिए,$\ln x 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} > 0$ है। अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, e)$ में वर्धमान है।$x \in (e, \infty)$ के लिए,$\ln x > 1$,इसलिए $1 - \ln x < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} < 0$ है। अतः,$f(x)$ अंतराल $(e, \infty)$ में ह्रासमान है।

फलन $f(x) = x^{1/x}$ है

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