આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2px = 0$,$p \in R$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ ને બહારની તરફ સ્પર્શે છે,તો

ભિન્ન વાસ્તવિક શૂન્યતર સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3$ અને $x_4$ માટે,ધારો કે બિંદુઓ $(x_1, \frac{1}{x_1}), (x_2, \frac{1}{x_2}), (x_3, \frac{1}{x_3})$ અને $(x_4, \frac{1}{x_4})$ એ $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે. તો,$x_1 x_2 x_3 x_4$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખા $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3$ અને પરવલય $x^2 = 2y$ ના છેદબિંદુ $P$ (પ્રથમ ચરણમાં) માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $2\sqrt{3}$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ને સ્પર્શે છે. જો વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો $Q_1$ અને $Q_2$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો ત્રિકોણ $PQ_1Q_2$ ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ કેટલો થાય?

ધારો કે $O(0,0)$ ઉગમબિંદુ છે અને રેખા $L = x + y - \lambda = 0$ એ વક્ર $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ ને $A$ અને $B$ માં મળે છે. જો $\angle AOB = 90^{\circ}$ હોય,તો આવી રેખાઓ $L = 0$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

જો વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના કોઈ બિંદુથી,વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,તો તે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

આપેલ વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 = 5$ અને પરવલય $y^2 = 4\sqrt{5}x$ માટે:
વિધાન-$I$: આ વક્રોના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = x + \sqrt{5}$ છે.
વિધાન-$II$: જો રેખા $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ એ સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો $m$ એ $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ ને સંતોષે છે.