अनुक्रम frac{1}{3}, frac{5}{9}, frac{19}{27}, | vedclass

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Question

(B) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।प्रथम $100$ पदों का योग $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(

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$98$

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(B) अनुक्रम का $n$-वाँ पद $a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n} = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ है।प्रथम $100$ पदों का योग $S_{100} = \sum_{n=1}^{100} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ है।$S_{100} = \sum_{n=1}^{100} 1 - \sum_{n=1}^{100} \left(\frac{2}{3}\right)^n$.$S_{100} = 100 - \left[ \frac{2}{3} \frac{(1 - (2/3)^{100})}{1 - 2/3} \right]$.$S_{100} = 100 - 2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{100}\right) = 100 - 2 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100} = 98 + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{100}$.चूँकि $0 अतः,$S_{100}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $[S_{100}] = 98$ है।

अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{19}{27}, \frac{65}{81}, \ldots$ के प्रथम $100$ पदों के योग से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

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निम्नलिखित श्रेणी का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए:
$\frac{1^{3}}{1}+\frac{1^{3}+2^{3}}{1+3}+\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}}{1+3+5}+\ldots$

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2} < 1.01$ है।

अनुक्रम $7, 77, 777, 7777, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $12 + 16 + 24 + 40 + \dots$ के $n$ पदों का योगफल होगा

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