સંકલન int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}} left([x] | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$. ધારો કે $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. તો $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$. આમ,$g(-x) = -g(x)$ હોવાથી,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$. હવે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ માટે: અંતરાલ $[-\frac{1}{2}, 0)$ માં,$[x] = -1$. અંતરાલ $[0, \frac{1}{2}]$ માં,$[x] = 0$. તેથી,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$. $I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

સંકલન $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તેની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

જો $f(a + b - x) = f(x)$ હોય,તો $\int_{a}^{b} x \cdot f(a + b - x) \, dx = $

$\int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module