$PALANHAR$ શબ્દના અક્ષરોની એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધો જેમાં કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન હોય અને બરાબર બે સ્વર એકી સ્થાનો પર હોય.

જો $^nC_r = 84$,$^nC_{r-1} = 36$,અને $^nC_{r+1} = 126$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

કોઈપણ અંકનું પુનરાવર્તન ન થાય તેવી કેટલી $3$-અંકી સંખ્યાઓ છે?

ત્રણ થેલીઓ $B_1$,$B_2$ અને $B_3$ છે જેમાં અનુક્રમે $2$ લાલ અને $3$ સફેદ,$5$ લાલ અને $5$ સફેદ,અને $3$ લાલ અને $2$ સફેદ દડા છે. થેલી $B_1$ માંથી એક દડો કાઢીને થેલી $B_2$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારબાદ થેલી $B_2$ માંથી એક દડો કાઢીને થેલી $B_3$ માં મૂકવામાં આવે છે,અને અંતે થેલી $B_3$ માંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. જો પ્રથમ અને બીજા સ્થાનાંતરમાં સમાન રંગના દડાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે (ધારો કે બધા દડા અલગ છે),તો આ પ્રક્રિયા પૂર્ણ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$1$ થી $30$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી ત્રણ સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેમાં બધી જ બેકી સંખ્યાઓ હોય તેવી પસંદગી બાકાત રહે.

એક પ્રશ્નપત્ર બે ભાગ $A$ અને $B$ માં વહેંચાયેલું છે અને દરેક ભાગમાં $5$ પ્રશ્નો છે. એક ઉમેદવાર દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો પસંદ કરીને કુલ $6$ પ્રશ્નોના જવાબ કેટલી રીતે આપી શકે?