दो वृत्तों $x^2 + y^2 = 4$ और $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ के उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

यदि रेखा $x-2y=m$ $(m \in \mathbb{Z})$ वृत्त $x^2+y^2=2x+4y$ को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है,तो $m$ के संभावित मानों की संख्या क्या है?

यदि बिंदु $P(3, 1)$ और $Q(6, 5)$ एक तीसरे बिंदु $R(x, y)$ के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं,जिसका क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है और $\angle PRQ = \frac{\pi}{2}$ है,तो बिंदु $R$ के लिए संभावित स्थितियों की संख्या क्या है?

एक वृत्त $C$,$X$-अक्ष को स्पर्श करता है और $Y$-अक्ष पर $2$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है। यदि इस वृत्त का केंद्र रेखा $y=x+1$ पर स्थित है,तो निम्नलिखित में से कौन सा वृत्त $C$ के केंद्र से होकर गुजरता है?

बिंदु $A(10, 7)$ की वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ से न्यूनतम दूरी रेखाखंड $AM$ की लंबाई है। यदि $MM'$ वृत्त का व्यास है,तो $AM$ और $AM'$ की लंबाइयाँ क्रमशः . . . . . . , . . . . . . इकाइयाँ हैं।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $c=$