$\overline{z} = i z^2$ को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या है

मान लीजिए $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + c$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है,जहाँ $f(1) = -9$ है। मान लीजिए कि $i\sqrt{3}$ समीकरण $4x^3 + 3ax^2 + 2bx = 0$ का एक मूल है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ और $\alpha_4$ समीकरण $f(x) = 0$ के सभी मूल हैं,तो $|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + |\alpha_4|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z = a + ib, b \neq 0$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$ को संतुष्ट करती है। तो $n \in N$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $z^{n} = (z + 1)^{n}$ हो।

यदि सम्मिश्र संख्या $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$, जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, का वास्तविक भाग शून्य है, तो $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान क्या होगा?

यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2021} = x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए उन क्षेत्रों पर विचार करें जो $A: \frac{1}{\log_2 |z|} - \frac{1}{\log_2 |z| - 1} - 1 < 0$ और $B: \operatorname{Im}(z) = 0$ द्वारा परिभाषित हैं। क्षेत्र $A \cap B$ में स्थित $\operatorname{Re}(z)$ के मानों का परिसर ज्ञात कीजिए।