समीकरण e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$। पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर: $e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{

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$1$

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(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$। पूरे समीकरण को $e^{2x}$ से विभाजित करने पर: $e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{1}{e^{2x}} = 0$। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{2x} + \frac{1}{e^{2x}}) + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$। सर्वसमिका $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$ का उपयोग करने पर: $(e^x + \frac{1}{e^x})^2 - 2 + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$। माना $t = e^x + \frac{1}{e^x}$। चूंकि $e^x > 0$,$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $t = e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$। समीकरण $t^2 + t - 6 = 0$ बन जाता है। गुणनखंड करने पर: $(t + 3)(t - 2) = 0$। अतः $t = -3$ या $t = 2$। चूंकि $t \geq 2$,इसलिए $t = 2$ होगा। $e^x + \frac{1}{e^x} = 2$ $\Rightarrow e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$ $\Rightarrow (e^x - 1)^2 = 0$। $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$। अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

समीकरण $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है:

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