વક્ર y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0 ને બિંદુ (1, 2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ વક્ર $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ વક્ર $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ મળે. $\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$. $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$. આમ,$P(\alpha, \beta)$ આગળ ઢાળ $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ છે. સ્પર્શક $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$. $\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$. $\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$. વળી,$P(\alpha, \beta)$ વક્ર પર હોવાથી,$\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$. $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$. $\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$. અવયવ પાડતા,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ મળે. જો $\alpha = -1$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. વિવેચક $D = 16 - 40 = -24 જો $\alpha = 2$,તો $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,એટલે કે $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$. $\beta$ માટે ઉકેલતા,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$. આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ અને $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ મળે છે,જે બે અલગ સ્પર્શકો આપે છે. તેથી,સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

વક્ર $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ ને બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

વક્ર $y=x^2+4x+3$ પરનું બિંદુ જે રેખા $y=3x+2$ ની સૌથી નજીક છે તે કયું છે?

જો રેખા $y=-4x+b$ એ વક્ર $y=\frac{1}{x}$ ને સ્પર્શક હોય, તો $b$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $y^2 = x$ પરના કયા બિંદુ આગળ સ્પર્શક $x-$ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે?

વક્ર $y = \sin x$ માટે બિંદુ $(\pi, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $......$ છે.

વક્ર $y=x^{2}-2x+7$ ને સમાંતર હોય તેવી સ્પર્શકની રેખાનું સમીકરણ શોધો જે રેખા $2x-y+9=0$ ને સમાંતર છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module