पाँच समान गेंदों को दस समान बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि किसी भी बक्से में एक से अधिक गेंद न हो?

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान ठीक $4$ दिनों के लिए एक कारखाने का दौरा करना आवश्यक है और यह अनिवार्य है कि कोई भी दो दौरे लगातार दिनों में न हों। $1-15$ जून $2021$ के दौरान इंजीनियर द्वारा कारखाने के ऐसे दौरों को करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या है:

$20$ लड़कों,$20$ लड़कियों और $20$ शिक्षकों में से $30$ व्यक्तियों की एक समिति चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि समिति में लड़कों,लड़कियों और शिक्षकों की संख्या समान हो।

कथन $I$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,${}^9C_3$ है।
कथन $II$: $9$ अलग-अलग स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^9C_3$ है।

$TSEAMCET$ शब्द के सभी अक्षरों में से $4$ अक्षरों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ एक टीम में खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, \dots, 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने फाइनल मैच में $100$ सोने के सिक्के जीते। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी को अपनी टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले,लेकिन कप्तान और उप-कप्तान को अपनी टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलें। यदि कप्तान $A_1$ और उप-कप्तान $A_2$ हैं,तो इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?