एक वक्र का प्राचलिक रूप x = frac{t^3}{t^2 - 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x = \frac{t^3}{t^2 - 1}$ और $y = \frac{t}{t^2 - 1}$।सबसे पहले,$x - 3y$ की गणना करें:$x - 3y = \frac{t^3}{t^2 - 1} - 3 \left( \frac{t}

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$\frac{1}{2} \log(t^2 - 1) + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $x = \frac{t^3}{t^2 - 1}$ और $y = \frac{t}{t^2 - 1}$।सबसे पहले,$x - 3y$ की गणना करें:$x - 3y = \frac{t^3}{t^2 - 1} - 3 \left( \frac{t}{t^2 - 1} \right) = \frac{t^3 - 3t}{t^2 - 1}$।इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके $dx$ ज्ञात करें:$dx = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{t^2 - 1} \right) dt = \frac{(t^2 - 1)(3t^2) - t^3(2t)}{(t^2 - 1)^2} dt = \frac{3t^4 - 3t^2 - 2t^4}{(t^2 - 1)^2} dt = \frac{t^4 - 3t^2}{(t^2 - 1)^2} dt$।अब,इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करें:$\int \frac{dx}{x - 3y} = \int \frac{\frac{t^4 - 3t^2}{(t^2 - 1)^2} dt}{\frac{t^3 - 3t}{t^2 - 1}} = \int \frac{t^2(t^2 - 3)}{(t^2 - 1)^2} \cdot \frac{t^2 - 1}{t(t^2 - 3)} dt = \int \frac{t}{t^2 - 1} dt$।मान लीजिए $u = t^2 - 1$,तो $du = 2t dt$,इसलिए $t dt = \frac{1}{2} du$।$\int \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} \log|u| + C = \frac{1}{2} \log(t^2 - 1) + C$।

एक वक्र का प्राचलिक रूप $x = \frac{t^3}{t^2 - 1}$,$y = \frac{t}{t^2 - 1}$ है,तो $\int \frac{dx}{x - 3y} =$

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यदि $I = \int \frac{\sin^2 x - 1}{2x \sin^2 x + \sin 2x} dx$ है,तो. . . . . $( \sin x \neq 0)$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

यदि $\int \frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+4 \sin x+5}} d x=\frac{1}{2} \sinh ^{-1}(f(x))+C$ है, तो $2 f(x)$ ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{p^2 + q^2(\tan^{-1}x)^2}} = $

$\int \frac{\sin 2x (1 - \frac{3}{2} \cos x)}{e^{\sin^2 x + \cos^3 x}} \, dx =$

$\int \frac{\sin x \, dx}{(a + b \cos x)^2} = $

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