फलन f(x) = frac{x}{3} - left[ frac{x}{3} - 5 | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।दिया गया फलन $f(x) = \left( \frac{x}{3} - \

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(B) हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।दिया गया फलन $f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} - 5 \right] \right)$ है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x - n] = [x] - n$ होता है,इसलिए $\left[ \frac{x}{k} - 5 \right] = \left[ \frac{x}{k} \right] - 5$ होगा।इस मान को फलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} \right] + 5 \right)$.$f(x) = \left\{ \frac{x}{3} \right\} + \left\{ \frac{x}{4} \right\} + \left\{ \frac{x}{5} \right\} + 15$.$\{ax\}$ का आवर्तनांक $\frac{1}{|a|}$ होता है।अतः,प्रत्येक पद के आवर्तनांक $T_1 = 3$,$T_2 = 4$,और $T_3 = 5$ हैं।इन फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) होगा।$T = L.C.M.(3, 4, 5) = 60$.

फलन $f(x) = \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} - 5 \right] + \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} - 5 \right] + \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} - 5 \right]$ का आवर्तनांक (period) ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ एक $G.I.F.$ है)।

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$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ का आवर्तकाल (period) है

$n \in \mathbb{Z}$ का वह मान जिसके लिए फलन $f(x) = \frac{\sin(nx)}{\sin(x/n)}$ का आवर्तकाल $4\pi$ है,है

यदि $n \in N$ और $\frac{\cos nx}{\sin \left(\frac{x}{n}\right)}$ का आवर्तकाल $4\pi$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा/से फलन आवर्ती (periodic) है/हैं?

फलन $f(x) = \cos(x^2)$ पर विचार करें। तब,

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