જેના પ્રાચલિત સમીકરણો $x = t^2 + 1, y = 2t$ અને $x = 2s, y = \frac{2}{s}$ છે તે વક્રોના છેદબિંદુઓ કયા છે?

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને પરવલય $x^2 = 4(y + b)$ એવા છે કે ઉપવલયના બે નાભિઓ અને પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

શંકુ $x^2-(y-1)^2=1$ ના આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી એક સ્પર્શક રેખા છે. જો સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ હોય,તો $\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વક્રો $x^2 - y^2 = 5$ અને $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ કોઈ સામાન્ય બિંદુ આગળ કેટલા ખૂણે છેદે છે?

જો $m$ એ વક્રો $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=12$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ હોય,તો $12\; m^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વર્તુળ $C$ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેનું કેન્દ્ર ધન $x$-અક્ષ પર છે,અને રેખા $-3x + 2y = 1$ પર $\frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. ધારો કે $H$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ છે,જેની એક નાભિ $C$ નું કેન્દ્ર છે અને પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $C$ નો વ્યાસ છે. તો $2\alpha^2 + 3\beta^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.