एक गाँव की जनसंख्या किसी भी समय उपस्थित निवास | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए किसी समय $t$ पर जनसंख्या $y$ है।यह दिया गया है कि जनसंख्या वृद्धि की दर किसी भी समय निवासियों की संख्या के समानुपाती है।$\frac{dy}{dt} =

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$31,250$

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(A) मान लीजिए किसी समय $t$ पर जनसंख्या $y$ है।यह दिया गया है कि जनसंख्या वृद्धि की दर किसी भी समय निवासियों की संख्या के समानुपाती है।$\frac{dy}{dt} = ky$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)$\frac{dy}{y} = k dt$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\ln y = kt + C$  ............$(1)$वर्ष $1999$ में,$t = 0$ और $y = 20,000$ लें।$\ln(20,000) = k(0) + C \Rightarrow C = \ln(20,000)$.वर्ष $2004$ में,$t = 5$ और $y = 25,000$ है।$\ln(25,000) = 5k + \ln(20,000)$$5k = \ln\left(\frac{25,000}{20,000}ight) = \ln\left(\frac{5}{4}ight)$$k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}ight)$.वर्ष $2009$ में,$t = 10$ है।समीकरण $(1)$ में $t = 10, k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}ight)$,और $C = \ln(20,000)$ का मान रखने पर:$\ln y = 10 	imes \frac{1}{5} \ln\left(\frac{5}{4}ight) + \ln(20,000)$$\ln y = 2 \ln\left(\frac{5}{4}ight) + \ln(20,000)$$\ln y = \ln\left(\left(\frac{5}{4}ight)^2 	imes 20,000ight)$$y = 20,000 	imes \frac{25}{16} = 1,250 	imes 25 = 31,250$.अतः,$2009$ में जनसंख्या $31,250$ होगी।

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