एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता द्रव्यमान फलन में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{r = 0}^n P(X = r) = 1$.
$\frac{^n C_0 + ^

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$\frac{1}{2}$

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(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता द्रव्यमान फलन में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{r = 0}^n P(X = r) = 1$.
$\frac{^n C_0 + ^n C_1 + ^n C_2 + \dots + ^n C_n}{32} = 1$.
सर्वसमिका $\sum_{r = 0}^n n C_r = 2^n$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2^n}{32} = 1$ प्राप्त होता है।
$2^n = 32$,जिसका अर्थ है $2^n = 2^5$,इसलिए $n = 5$.
अब,हमें $P[X \leq 2] = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ की गणना करनी है।
$P[X \leq 2] = \frac{^5 C_0}{32} + \frac{^5 C_1}{32} + \frac{^5 C_2}{32}$.
मान रखने पर: $^5 C_0 = 1$,$^5 C_1 = 5$,और $^5 C_2 = \frac{5 	imes 4}{2} = 10$.
$P[X \leq 2] = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

$X=x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{6}$

$X=x$	$-3$	$6$	$9$
$P(X=x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

परिणाम	प्रायिकता
$\omega_{1}$	$0.1$
$\omega_{2}$	$0.01$
$\omega_{3}$	$0.05$
$\omega_{4}$	$0.03$
$\omega_{5}$	$0.01$
$\omega_{6}$	$0.2$
$\omega_{7}$	$0.6$

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यदि $m$ और $\sigma^2$ यादृच्छिक चर $X$ के माध्य और प्रसरण हैं,जिसका वितरण इस प्रकार है:
$X=x$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=x)$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{6}$

तो:

यदि $X$ एक पॉइसन चर (Poisson variate) है और $P(X=1) = 2P(X=2)$ है,तो $P(X=3)$ का मान क्या होगा?

एक पॉइसन वितरण में, यदि $\frac{P(X=5)}{P(X=2)}=\frac{1}{7500}$ और $\frac{P(X=5)}{P(X=3)}=\frac{1}{500}$ है, तो वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए।

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