શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & x^2 & 3x^2 \\ 1 & -6 & 4 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,જ્યાં $p$ એક અચળાંક છે,તો $\frac{d^3f(x)}{dx^3}$ શું છે?

નીચેનામાંથી કયા શ્રેણિકનો ક્રમાંક (rank) $3$ છે?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ હોય, તો $\frac{d}{dx}(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

જો $D(x) = \begin{vmatrix} x - 1 & (x - 1)^2 & x^3 \\ x - 1 & x^2 & (x + 1)^3 \\ x & (x + 1)^2 & (x + 1)^3 \end{vmatrix}$ હોય,તો $D(x)$ માં $x$ નો સહગુણક શું છે?

અમુક $a, b$ માટે,ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ હોય,તો $(\lambda + \mu + \nu)^2$ ની કિંમત શોધો: