एक $AP$ के $11$ वें पद और $18$ वें पद का अनुपात $2:3$ है। $5$ वें पद और $21$ वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए,और साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

(A) माना $a$ और $d$ एक $AP$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया गया है कि,$a_{11} : a_{18} = 2 : 3$.
$\Rightarrow \frac{a + 10d}{a + 17d} = \frac{2}{3}$.
$\Rightarrow 3a + 30d = 2a + 34d$.
$\Rightarrow a = 4d$ ....$(i)$.
अब,$a_5 = a + 4d = 4d + 4d = 8d$.
$a_{21} = a + 20d = 4d + 20d = 24d$.
अतः,$a_5 : a_{21} = 8d : 24d = 1 : 3$.
अब,प्रथम पाँच पदों का योग,$S_5 = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d] = \frac{5}{2}[2(4d) + 4d] = \frac{5}{2}(12d) = 30d$.
और प्रथम $21$ पदों का योग,$S_{21} = \frac{21}{2}[2a + (21-1)d] = \frac{21}{2}[2(4d) + 20d] = \frac{21}{2}(28d) = 294d$.
अतः,प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम $21$ पदों के योग का अनुपात $S_5 : S_{21} = 30d : 294d = 5 : 49$ है।