$R \backslash \{0\}$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$ એ

ધારો કે $f : X \rightarrow Y$ એક વિધેય છે જેથી $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} ,$ તો $X$ અને $Y$ નો ગણ શોધો જેના માટે $f(x)$ એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.

ધારો કે $A$ એ શાળાના ધોરણ $X$ ના તમામ $50$ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. ધારો કે $f: A \rightarrow N$ એ $f(x) = \text{વિદ્યાર્થી } x \text{ નો રોલ નંબર}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

$f: N \rightarrow N$,$f(x)=x^6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો . . . . . . .

$f: R \to R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત મેપિંગ $f(x) = \cos x, x \in R$ શું હશે?

ધારો કે $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે,અને $\{x\} = x-[x]$ છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ $f$ નો વિસ્તાર એક સંવૃત અંતરાલ છે.
$II.$ $f$ એ $R$ પર સતત છે.
$III.$ $f$ એ $R$ પર એક-એક વિધેય છે.