समीकरणों के निकाय lambda x - y + (costheta) z | vedclass

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Question

(A) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ का अशून्य (non-trivial) हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।गुणांक आव्

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$\lambda$ और $	heta$ के किसी भी मान के लिए नहीं

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(A) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय $AX = 0$ का अशून्य (non-trivial) हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।गुणांक आव्यूह है:$A = \begin{bmatrix} \lambda & -1 & \cos	heta \ 3 & 1 & 2 \ \cos	heta & 1 & 2 \end{bmatrix}$सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:$|A| = \lambda(1 	imes 2 - 1 	imes 2) - (-1)(3 	imes 2 - \cos	heta 	imes 2) + \cos	heta(3 	imes 1 - \cos	heta 	imes 1)$$|A| = \lambda(0) + (6 - 2\cos	heta) + \cos	heta(3 - \cos	heta)$$|A| = 6 - 2\cos	heta + 3\cos	heta - \cos^2	heta$$|A| = 6 + \cos	heta - \cos^2	heta$अशून्य हल के लिए,$|A| = 0$:$-\cos^2	heta + \cos	heta + 6 = 0$$\cos^2	heta - \cos	heta - 6 = 0$माना $t = \cos	heta$,तब $t^2 - t - 6 = 0$।$(t - 3)(t + 2) = 0$अतः,$\cos	heta = 3$ या $\cos	heta = -2$।चूंकि $\cos	heta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए किसी भी वास्तविक $	heta$ के लिए $\cos	heta = 3$ या $\cos	heta = -2$ संभव नहीं है।अतः,किसी भी $	heta \in (0, 2\pi)$ के लिए $|A|$ कभी शून्य नहीं होता है।इस प्रकार,$\lambda$ और $	heta$ के सभी मानों के लिए निकाय का केवल शून्य हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही प्राप्त होता है।

समीकरणों के निकाय $\lambda x - y + (\cos\theta) z = 0$,$3x + y + 2z = 0$,और $(\cos\theta) x + y + 2z = 0$ के लिए $0 < \theta < 2\pi$ का अशून्य (non-trivial) हल है:

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यदि समीकरण निकाय $kx + 2y - z = 2, (k - 1)x + ky + z = 1, x + (k - 1)y + kz = 3$ का केवल एक हल है,तो $k$ के संभावित वास्तविक मानों की संख्या है -

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