(0,3) से परवलय y^2=4x की न्यूनतम दूरी क्या है | vedclass

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Question

(B) माना परवलय पर एक बिंदु $B\left(\frac{K^2}{4}, K\right)$ है और $A(0,3)$ है।दूरी $AB = \sqrt{\left(\frac{K^2}{4} - 0\right)^2 + (K - 3)^2} = \sqrt{\

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$\sqrt{2}$

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(B) माना परवलय पर एक बिंदु $B\left(\frac{K^2}{4}, K\right)$ है और $A(0,3)$ है।दूरी $AB = \sqrt{\left(\frac{K^2}{4} - 0\right)^2 + (K - 3)^2} = \sqrt{\frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9}$ है।माना $f(K) = AB^2 = \frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9$ है।न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f'(K) = 0$ रखकर $f(K)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।$f'(K) = \frac{4K^3}{16} + 2K - 6 = \frac{K^3}{4} + 2K - 6 = 0$ है।$4$ से गुणा करने पर,हमें $K^3 + 8K - 24 = 0$ प्राप्त होता है।निरीक्षण द्वारा,$K=2$ एक हल है: $(2)^3 + 8(2) - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$ है।$K^3 + 8K - 24$ को $(K-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(K-2)(K^2 + 2K + 12) = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण $K^2 + 2K + 12$ का विविक्तकर ऋणात्मक है $(D = 4 - 48 = -44)$,इसलिए $K=2$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।$K=2$ पर,बिंदु $B$ का मान $\left(\frac{2^2}{4}, 2\right) = (1, 2)$ है।न्यूनतम दूरी $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।

$(0,3)$ से परवलय $y^2=4x$ की न्यूनतम दूरी क्या है?

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