अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y = 1 का हल है | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 1$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञा

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$y = 1 + c{e^{-x}}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 1$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$. व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है। मान रखने पर: $y \cdot e^x = \int 1 \cdot e^x dx + c$. दाहिनी ओर का समाकलन करने पर: $y \cdot e^x = e^x + c$. दोनों पक्षों को $e^x$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{e^x}{e^x} + \frac{c}{e^x} = 1 + c{e^{-x}}$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = 1$ का हल है

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माना $y(x)$ अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ का हल है। तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए: $[y(1) = 0]$

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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