अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y}{x} + frac{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi \left( \frac{y}{x} \right)}{\phi' \left( \frac{y}{x} \right)}$.$y = vx$ प्रतिस्थाप

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$\phi \left( \frac{y}{x} \right) = kx$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi \left( \frac{y}{x} \right)}{\phi' \left( \frac{y}{x} \right)}$.$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:$x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.चरों को अलग करने पर:$\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.इससे $\log |\phi(v)| = \log |x| + \log |k|$ प्राप्त होता है,जहाँ $\log |k|$ समाकलन स्थिरांक है।लघुगणक के नियम का उपयोग करने पर,$\log |\phi(v)| = \log |kx|$.अतः,$\phi(v) = kx$.$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हल प्राप्त होता है:$\phi \left( \frac{y}{x} \right) = kx$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi \left( \frac{y}{x} \right)}{\phi' \left( \frac{y}{x} \right)}$ का हल है

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