(1-x)^{100} के द्विपद विस्तार में पहले 50 पदो | vedclass

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Question

(C) द्विपद विस्तार $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ है।माना $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$ है।हम जा

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$-{ }^{99}C_{49}$

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(C) द्विपद विस्तार $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ है।माना $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$ है।हम जानते हैं कि $(1-x)^{100}$ में सभी गुणांकों का योग $(1-1)^{100} = 0$ होता है।अतः,$(C_0 - C_1 + C_2 - \dots + C_{50} - \dots + C_{100}) = 0$ है।गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$C_{100} = C_0, C_{99} = C_1, \dots, C_{51} = C_{49}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$2(C_0 - C_1 + C_2 - \dots - C_{49}) + C_{50} = 0$ है।$2S + C_{50} = 0 \implies S = -\frac{1}{2} C_{50}$ है।$S = -\frac{1}{2} \binom{100}{50} = -\frac{1}{2} 	imes \frac{100}{50} \binom{99}{49} = -\binom{99}{49}$।

$(1-x)^{100}$ के द्विपद विस्तार में पहले $50$ पदों के गुणांकों का योग किसके बराबर है?

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$k$ के उन सभी संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में ठीक नौ अपरिमेय पद हों।

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