$\theta \in [0, 2\pi]$ के उन सभी संभावित मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय : $x \cos 3\theta - 8y - 12z = 0, x \cos 2\theta + 3y + 3z = 0, x + y + 3z = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, किसके बराबर है?

$\lambda$ के कितने वास्तविक मानों के लिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \lambda & \lambda + 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ \lambda + 3 & \lambda - 2 & \lambda + 7 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) संभव नहीं है?

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left|\begin{array}{cc}\sin \frac{11 \pi}{36} & \cos \frac{11 \pi}{36} \\\sin \frac{2 \pi}{9} & \cos \frac{2 \pi}{9}\end{array}\right|$.

तीन अंकों की संख्याएँ $x17$,$3y6$,और $12z$,जहाँ $x, y, z$ $0$ से $9$ तक के पूर्णांक हैं,एक निश्चित स्थिरांक $k$ से विभाज्य हैं। तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 1 \\ 7 & 6 & z \\ 1 & y & 2 \end{array} \right| + 48$ किससे विभाज्य होना चाहिए?

$\left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right| \text{ का मान ज्ञात कीजिए: }$

$\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|=$ . . . . . .