धनात्मक पदों वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का | vedclass

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Question

(B) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $|r| < 1$ है।श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3 \implies a = 3(1-r)$ है।पदों क

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$\frac{2}{3}$

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(B) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $|r| श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3 \implies a = 3(1-r)$ है।पदों के घन $a^3, (ar)^3, (ar^2)^3, \dots$ एक नई गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं,जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।घनों का योग $S' = \frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$ दिया गया है।दूसरे समीकरण में $a = 3(1-r)$ रखने पर:$\frac{[3(1-r)]^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$$\frac{27(1-r)^3}{(1-r)(1+r+r^2)} = \frac{27}{19}$$\frac{(1-r)^2}{1+r+r^2} = \frac{1}{19}$$19(1 - 2r + r^2) = 1 + r + r^2$$19 - 38r + 19r^2 = 1 + r + r^2$$18r^2 - 39r + 18 = 0$$3$ से भाग देने पर: $6r^2 - 13r + 6 = 0$$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$$(3r - 2)(2r - 3) = 0$चूँकि $|r| < 1$ है,इसलिए $r = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

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