${\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{x}} \right)^8}$ के द्विपद विस्तार में मध्य पद $5670$ होने पर $x$ के वास्तविक मानों का योग क्या है?

यदि $(1 + x)^{18}$ के विस्तार में $(2r + 4)$ वें पद का शून्येतर गुणांक $(r - 2)$ वें पद के शून्येतर गुणांक से बड़ा है,तो $r$ के संभावित पूर्णांक मानों की संख्या है:

यदि $\left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} + \sqrt{3} \ln x \right)^9, x > 0$ के द्विपद विस्तार में $7^{th}$ पद $729$ के बराबर है,तो $x$ हो सकता है

मान लीजिए कि $K$,$(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$,$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद है। यदि $\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{2^{\ell} m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं,तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ बराबर है:

$(x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}$ के विस्तार में $x^{32}$ का गुणांक है

$\left(\frac{x+1}{x^{2/3}+1-x^{1/3}}-\frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}, x>1$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद क्या है?