શ્રેણી 1 + frac{2}{3} + frac{6}{3^2} + frac{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ છે. આ એક અંકગણિતીય-ભૂમિતિ શ્રેણી છે જ્યાં અંશના પદો

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ છે. આ એક અંકગણિતીય-ભૂમિતિ શ્રેણી છે જ્યાં અંશના પદો $1, 2, 6, 10, 14, \dots$ બીજા પદથી સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને છેદ $3$ ની ઘાત છે. $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ $3$ વડે ભાગતા: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$ $\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$ $\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$ કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{4}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે. સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} 	imes \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$. તેથી,$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$. $S = 2 	imes \frac{3}{2} = 3$.

શ્રેણી $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ ના અનંત પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

જો $2$ અને $32$ ની વચ્ચે ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો મૂકવામાં આવે,તો ત્રીજો સમગુણોત્તર મધ્યક શું હશે?

જો એક સમાંતર શ્રેણીના $p$ માં,$q$ માં અને $r$ માં પદો અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ હોય,તો $[a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)]$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો શ્રેણી ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $\frac{16}{5}m$ હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણી $1 \cdot 2015 + 2 \cdot 2014 + 3 \cdot 2013 + \dots + 2015 \cdot 1$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module